北京东方乒乓球俱乐部
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试用平面解析几何方法证明：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上。[本话题由 陈彤 于 2016-10-28 07:03:33 编辑]
证：作图，切线为MN。设A(0,－c)，根据椭圆的标准方程，从A出发的光线交椭圆于点P(acosθ,bsinθ)，则椭圆的切线方程为
acosθ·x/a2＋bsinθ·y/b2＝1
则sinθ·y/b＝1－cosθ·x/a
即y＝b/sinθ－bcosθ·x/（asinθ）
那么，其斜率kL＝－bcosθ/（asinθ）
又入射光线AP斜率k1为bsinθ/（acosθ＋c），
反射光线PB斜率k2为bsinθ/（acosθ－c）
则入射角斜率可以用夹角公式（由三角函数正切诱导公式证明）由切线与AP所夹角来求得 （k1－kL）/（1＋kL k1）＝b/（csinθ）
同理，切线与到PB所夹角斜率为（kL－k2）/（1+ kL k2）＝b/（csinθ）
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